El camino del estudiante (Ecuaciones Cuanticas)

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Ecuación de Dirac
La ecuación de Dirac es una ecuación de ondas relativista de la mecánica cuántica formulada por Paul Dirac en 1928. Da una descripción de las partículas elementales con masa de espín 1/2, como el electrón, y es consistente con los principios de la mecánica cuántica y de la teoría de la relatividad especial, explicando de forma natural la existencia del espín y de las antipartículas. Sin embargo, es sólo una aproximación a la electrodinámica cuántica que describe la interacción de partículas cargadas mediante interacciones eléctricas.


Forma de la ecuación
Ya que la ecuación de Dirac se formuló originalmente para describir el electrón, las referencias se harán respecto a electrones, aunque actualmente la ecuación se aplica a otros tipos de partículas elementales de espín ½, como los quarks. Una ecuación modificada de Dirac puede emplearse para describir de forma aproximada los protones y los neutrones, formados ambos por partículas más pequeñas llamadas quarks (por este hecho, a protones y neutrones no se les da la consideración de partículas elementales).


La ecuación de Dirac presenta la siguiente forma:





siendo m la masa en reposo del electrón, c la velocidad de la luz, p el operador de momento, ? la constante reducida de Planck, x y t las coordenadas del espacio y el tiempo, respectivamente; y ? (x, t) una función de onda de cuatro componentes. La función de onda ha de ser formulada como un espinor (objeto matemático similar a un vector que cambia de signo con una rotación de 2? descubierto por Pauli y Dirac) de cuatro componentes, y no como un simple escalar, debido a los requerimientos de la relatividad especial. Los ? son operadores lineales que gobiernan la función de onda, escritos como una matriz y son matrices de 4×4 conocidas como matrices de Dirac. Hay más de una forma de escoger un conjunto de matrices de Dirac; un criterio práctico es:






La ecuación de Dirac describe las amplitudes de probabilidad para un electrón solo. Esta teoría de una sola partícula da una predicción suficientemente buena del espín y del momento magnético del electrón, y explica la mayor parte de la estructura fina observada en las líneas espectrales atómicas. También realiza una peculiar predicción de que existe un conjunto infinito de estados cuánticos en que el electrón tiene energía negativa. Este extraño resultado permite a Dirac predecir, por medio de las hipótesis contenidas en la llamada teoría de los agujeros, la existencia de electrones cargados positivamente. Esta predicción fue verificada con el descubrimiento del positrón, el año 1932.
A pesar de este éxito, la teoría fue descartada porque implicaba la creación y destrucción de partículas, enfrentándose así a una de las consecuencias básicas de la relatividad. Esta dificultad fue resuelta mediante su reformulación como una teoría cuántica de campos. Añadir un campo electromagnético cuantizado en esta teoría conduce a la moderna teoría de la electrodinámica cuántica (Quantum Electrodynamics, QED).


Deducción de la ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac es una extensión al caso relativista de la ecuación de Schrödinger, que describe la evolución en el tiempo de un sistema cuántico:




Por conveniencia, se trabajará en la base de posiciones, en que el estado del sistema es representado por la función de onda ?(x,t). En esta base, la ecuación de Schrödinger se formula de la siguiente manera:



donde el hamiltoniano H denota un operador que actúa sobre una función de onda, y no sobre vectores de estado.
Debe especificarse el hamiltoniano de forma que describa adecuadamente la energía total del sistema en cuestión. Sea un electrón libre aislado de campos de fuerza externos. En un modelo no relativista, se adopta un hamiltoniano análogo a la energía cinética de la mecánica clásica (de momento ignorando el espín):



siendo p los operadores de momento en cada dirección del espacio j = 1, 2, 3. Cada operador de momento actúa sobre la función de onda como una derivada espacial:



Para describir un sistema relativista, debe encontrarse un hamiltoniano diferente. Se asume que los operadores de momento conservan la definición anterior. De acuerdo con la famosa relación masa-momento-energía de Albert Einstein, la energía total de un sistema viene dada por la expresión:




de la cual se deduce que





Esta no es una ecuación satisfactoria, porque no trata por igual el espacio y el tiempo, uno de los principios básicos de la relatividad especial (el cuadrado de esta ecuación lleva a la ecuación de Klein-Gordon). Dirac razonó que, mientras la parte derecha de la ecuación contenía una derivada de primer orden respecto al tiempo, la parte de la izquierda debía contener igualmente una primera derivada respecto al espacio (i. e., los operadores de momento). Una posibilidad para obtener esta situación es que la cantidad de la raíz cuadrada sea un cuadrado perfecto. Considerando




donde las ? son constantes que deben ser determinadas. Elevando al cuadrado, y comparando coeficientes de cada término, se obtienen las siguientes condiciones por ?:





Aquí, I es el elemento identidad. Estas condiciones pueden sintetizarse en:
{ ? ? , ? ? } = 2 ? ? ? ? I donde {…} es el anticonmutador, definido como {A,B} ? AB+BA, y ? es la delta de Kronecker, que tiene valor 1 si los dos subíndices son iguales, y 0 en otro caso.
Estas condiciones pueden no ser satisfechas si los ? son números ordinarios, pero sí se cumplen si las ? son determinadas matrices. Las matrices deben ser hermíticas, ya que el hamiltoniano es un operador hermítico. Las matrices más pequeñas que funcionan son las 4×4, pero hay más de una elección posible, o representación, de las matrices. Si bien la elección de la representación no puede afectar a las propiedades de la ecuación de Dirac, afecta al significado físico de las componentes individuales de la función de onda.
Anteriormente se ha presentado la representación usada por Dirac. Una forma más compacta de describir esa representación es la siguiente:

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? 0 = [ I 0 0 ? I ] ? j = [ 0 ? j ? ? j 0 ]

donde 0 e I son las matrices 2×2 cero (nula) e identidad, respectivamente; y ?[sub]j[/sub]'s (j=1, 2, 3) son las matrices de Pauli.
Ahora es sencillo operar la raíz cuadrada, de la que se obtiene la ecuación de Dirac. El hamiltoniano de esta ecuación
H = ? 0 m c 2 + ? j = 1 3 ? j p j c
se denomina hamiltoniano de Dirac.
Naturaleza de la función de ondaComo la función de onda ? se representa por la matriz de Dirac 4×1, ha de ser un objeto de 4 componentes. Se verá en la próxima sección que la función de onda contiene dos conjuntos de grados de libertad, uno asociado a la energía positiva y otro a la negativa. Cada conjunto contiene dos grados de libertad que describen las amplitudes de probabilidad de que el espín sea hacia arriba o hacia abajo, según una dirección especificada.
Se puede escribir explícitamente la función de onda como una matriz columna:
? ( x , t ) ? [ ? 1 ( x , t ) ? 2 ( x , t ) ? 3 ( x , t ) ? 4 ( x , t ) ]
La ecuación de la onda dual puede ser escrita como una matriz simple:
? † ( x , t ) ? [ ? 1 ? ( x , t ) ? 2 ? ( x , t ) ? 3 ? ( x , t ) ? 4 ? ( x , t ) ]
donde el superíndice denota una conjugación compleja. La dualidad de una función de onda escalar (un componente) es un conjugado complejo.
Como en la mecánica cuántica de una partícula única, el cuadrado absoluto de la función de onda da la densidad de probabilidad de la partícula en cada posición x, tiempo t. En este caso, el cuadrado absoluto es obtenido por multiplicación de matrices:
? † ? ( x , t ) = ? j = 1 4 ? j ? ( x , t ) ? j ( x , t )
La conservación de la probabilidad da la condición de normalización
? ? † ? ( x , t ) d 3 x = 1
Aplicando la ecuación de Dirac, podemos examinar el flujo local de probabilidad:
? ? t ? † ? ( x , t ) = ? ? ? J
El flujo de probabilidad J viene dado por
J j = c ? † ? j ?
Multiplicando J por la carga del electrón e se obtiene la densidad de corriente eléctrica j llevada por el electrón.
Los valores de las componentes de la función de onda dependen del sistema de coordenadas. Dirac mostró cómo ? se transforma bajo cambios generales del sistema coordenado, incluyendo rotaciones en el espacio tridimensional, así como en las transformaciones de Lorentz entre los esquemas relativistas de referencia. Esto lleva a que ? no se transforma como un vector, debido a rotaciones; y de hecho es un tipo de objeto conocido como espinor.
Espectro de energíaEs instructivo hallar los estados propios de energía del Hamiltoniano de Dirac. Para ello, se resuelve la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

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H ? 0 ( x ) = E ? 0 ( x )

donde ? es el fragmento independiente del tiempo de la autofunción (eigenfunction) de la energía:

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? ( x , t ) = ? 0 ( x ) e ? i E t / ?

Buscamos una solución de onda plana. Por conveniencia, se toma la z del eje como la dirección en que la partícula se está moviendo, como

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? 0 = w e i p z ?

donde w es un espinor constante de cuatro componentes, y p es el momento de la partícula, tal y como podemos verificar aplicando el operador de momento a la función de onda. En la representación de Dirac, la ecuación por ?[sub]0[/sub] disminuye en la ecuación de valores propios.

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[ m c 2 0 p c 0 0 m c 2 0 ? p c p c 0 ? m c 2 0 0 ? p c 0 ? m c 2 ] w = E w

Para cada valor de p, hay dos espacios propios, ambos de dos dimensiones. Un espacio propio contiene valores propios positivos, y el otro valores propios negativos, de la forma:

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E ± ( p ) = ± ( m c 2 ) 2 + ( p c ) 2

El espacio propio positivo está estructurado por los estados propios:

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1 ? 2 + ( p c ) 2 { [ p c 0 ? 0 ] , [ 0 p c 0 ? ? ] }

y el espacio propio negativo por los estados propios:

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1 ? 2 + ( p c ) 2 { [ ? ? 0 p c 0 ] , [ 0 ? 0 p c ] }

Donde
? ? | E | ? m c 2
El primer estado propio de la estructura de cada espacio propio tiene espín apuntando en la dirección +z (espín hacia arriba) y el segundo espín propio tiene espín apuntando en la dirección -z (espín hacia abajo).
En el límite no relativista, la componente del espinor ? reduce la energía cinética de la partícula, que es insignificante comparada con pc:

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? ? p 2 2 m ? p c

En este límite, por tanto, podemos interpretar los cuatro componentes de la función de onda como sus amplitudes respectivas del (I) espín hacia arriba con energía positiva, y el (II) espín hacia abajo con energía positiva, (III) espín hacia arriba con energía negativa, y (IV) espín abajo con energía negativa. Esta descripción no es muy exacta en el régimen de la relatividad, donde los componentes no nulos del espinor son de medidas similares.

Teoría de huecos
Las soluciones negativas de E en la sección precedente son problemáticas: desde el punto de vista de la mecánica relativista, la energía de una partícula en reposo (p = 0) sería E = mc[sup]2[/sup] tanto como E = - mc[sup]2[/sup]. Matemáticamente parece no haber motivo alguno para rechazar las soluciones correspondientes a energía negativa.
Para afrontar este problema, Dirac introdujo una hipótesis (conocida como teoría de huecos) según la cual el vacío es el estado más importante de los cuantos, en el que todos los estados propios de energía negativa del electrón están ocupados. Esta descripción del vacío, como un «mar» de electrones es llamada el mar de Dirac. El principio de exclusión de Pauli prohíbe a los electrones ocupar el mismo estado, cualquier electrón adicional sería forzado a ocupar un estado propio de energía positiva, y los electrones de energía positiva no podrían decaer a estados propios de energía negativa.
Posteriormente Dirac razonó que si los estados propios de energía negativa están llenos de forma incompleta, cada estado propio no ocupado —llamado hueco— podría comportarse como una partícula cargada positivamente. El hueco tiene energía positiva, ya que se necesita energía para crear un par partícula-hueco a partir del vacío. Dirac en un principio pensaba que el hueco era un protón, pero Hermann Weyl advirtió de que el hueco se comportaría como si tuviera la misma masa del electrón, mientras que el protón es, aproximadamente, dos mil veces más masivo. El hueco fue finalmente identificado como positrón, partícula descubierta experimentalmente por Carl David Anderson en 1932.
Por necesidad, la teoría de huecos asume que los electrones de energía negativa en el mar de Dirac no interaccionan unos con otros, ni con los electrones de energía positiva. Con esta suposición, el mar de Dirac produciría una inmensa (de hecho, infinita) carga eléctrica negativa, la mayor parte de la cual de una forma u otra sería anulada por un mar de carga positiva debido a que el vacío permanece eléctricamente neutro. Sin embargo, es completamente insatisfactorio postular que los electrones de energía positiva pueden ser afectados por el campo electromagnético, mientras los electrones de energía negativa no lo son. Por este motivo, los físicos abandonaron la teoría de huecos en favor de la teoría de campos de Dirac, que deja de lado el problema de los estados de energía negativa tratando los positrones como verdaderas partículas. (Caveat: en algunas aplicaciones de la física de la materia condensada, los conceptos basados en la «teoría de huecos» son válidos). El mar de electrones de conducción, en un conductor eléctrico, llamado mar de Fermi, contiene electrones con energías más altas que el potencial químico del sistema. Un estado vacío en el mar de Fermi se comporta como un electrón cargado positivamente, si bien se remite tanto a un «hueco» como a un positrón. La carga negativa del mar de Fermi es equilibrada por la carga positiva de la reja iónica del material.
En el enfoque moderno la interpretación del mar de electrones se refiere al problema de la elección del estado del vacío. De hecho en algunas teorías, diferentes elecciones del estado del vacío pueden tener consecuencias físicas diferentes.
Interacción electromagnéticaHasta aquí se ha considerado un electrón que no está en contacto con campos externos. Continuando por analogía con el hamiltoniano de una partícula cargada en la electrodinámica cuántica, se puede modificar el hamiltoniano de Dirac para incluir los efectos de un campo electromagnético. El hamiltoniano revisado es (en unidades del Sistema Internacional):

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H = ? 0 m c 2 + ? j = 1 3 ? j [ p j ? e A j ( x , t ) ] c + e ? ( x , t )

donde e es la carga eléctrica del electrón y A y ? son los potenciales electromagnéticos vectorial y escalar, respectivamente. Aquí, los potenciales se escriben como funciones del tiempo t y del operador de posición x. Esta es una aproximación semiclásica que es válida cuando las fluctuaciones cuánticas del campo (por ejemplo, la emisión y absorción de fotones) no son importantes.
Dando a ? el valor 0 y trabajando en el límite no relativista, Dirac solucionó para las dos primeras componentes en las funciones de onda de energía positiva (que son las componentes dominantes en el límite no relativista), obteniendo

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( 1 2 m ? j | p j ? e A j ( x , t ) | 2 ? ? e 2 m c ? j ? j B j ( x ) ) [ ? 1 ? 2 ]
= ( E ? m c 2 ) [ ? 1 ? 2 ]

donde B = ? × A es el campo magnético que actúa sobre la partícula. Esta es precisamente la ecuación de Pauli para una partícula de espín ½ no relativista, con un momento magnético ? e / 2 m c (por ejemplo: un factor g de espín igual a 2). El momento magnético real del electrón es mayor que eso, pero únicamente un 0,12% mayor. La diferencia se debe a las fluctuaciones cuánticas en el campo electromagnético, que pueden ser menospreciadas.
Años después del descubrimiento de la ecuación de Dirac, la mayoría de físicos creían que también describía el protón y el neutrón, que también son partículas de espín -1/2. Sin embargo, desde los experimentos de Stern y Frisch en 1933, se descubrió que el momento magnético de estas partículas era notablemente diferente de las predicciones de la ecuación de Dirac. El protón tiene un momento magnético 2,79 veces mayor que la predicción (con la masa del protón puesta como m en las fórmulas mencionadas), i.e., un factor g de 5,58. El neutrón, que es eléctricamente neutro, tiene un factor g de -3,83. Estos momentos magnéticos anormales fueron el primer indicio experimental de que el protón y el neutrón no eran partículas elementales. De hecho están compuestos de partículas más pequeñas llamadas quarks.
Interacción hamiltonianaEs digno de tenerse en cuenta que el hamiltoniano puede ser escrito como suma de dos términos:

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H = H e l + H i n t

Donde H[sub]el[/sub] es el hamiltoniano de Dirac para un electrón libre y H[sub]int[/sub] es el hamiltoniano de la interacción electromagnética. Este último se puede escribir como:

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H i n t = e ? ( x , t ) ? e c ? j = 1 3 ? j A j ( x , t )

Esto tiene el valor esperado

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? H ? = ? R 3 ? † H i n t ? d 3 x = ? R 3 ( ? ? ? ? i = 1 3 j i A i ) d 3 x

donde ? es la densidad de carga eléctrica y j es la densidad de corriente eléctrica. La integral en el último término es la densidad de energía de interacción. Eso es una cantidad escalar covariante relativista, como puede observarse escribiéndolo en términos del cuadrivector carga-corriente j = (?c, j) y el cuatrivector del potencial A = (?/c, A):

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? H ? = ? ( ? ? = 0 3 j ? A ? ) d 3 r

Átomo hidrogenoide relativistaLa ecuación de Schrödinger aplicada a electrones es solo una aproximación no relativista a la ecuación de Dirac que da cuenta tanto del efecto del espín del electrón. En el tratamiento de Dirac de los electrones de hecho la función de onda debe substituirse por un espinor de cuatro componentes.

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? n , j m ( ± ) ( r , ? , ? ) = { i G n , l j ( r ) r ? j m ( ± ) F n , l j ( r ) r ( ? ? r ^ ) ? j m ( ± ) }

Donde las funciones F y G se expresan en términos de funciones hipergeométricas:

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F n , l j ( r ) = ( 1 + E m c 2 ) e ? ? 2 ( F 1 ( ? ) + F 2 ( ? ) ) , G n , l j ( r ) = ( 1 ? E m c 2 ) e ? ? 2 ( F 1 ( ? ) ? F 2 ( ? ) ) ,

A modo de comparación con el caso no relativista se dan a continuación la forma explícita del espinor de funciones de onda del estado fundamental:

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? n = 1 , j = 1 2 , m = + 1 2 ( r , ? , ? ) = ( 2 m Z ? ) 3 / 2 ( 4 ? ) 1 / 2 ( 1 + ? 2 ? ( 1 + 2 ? ) ) 1 / 2 ( 2 m Z ? r ) ? ? 1 e ? m Z ? r { 1 0 i ( 1 ? ? ) Z ? cos ? ? i ( 1 ? ? ) Z ? sin ? ? e i ? }
? n = 1 , j = 1 2 , m = ? 1 2 ( r , ? , ? ) = ( 2 m Z ? ) 3 / 2 ( 4 ? ) 1 / 2 ( 1 + ? 2 ? ( 1 + 2 ? ) ) 1 / 2 ( 2 m Z ? r ) ? ? 1 e ? m Z ? r { 1 0 i ( 1 ? ? ) Z ? sin ? ? e ? i ? i ( 1 ? ? ) Z ? cos ? ? }

El límite no relativista se obtiene haciendo tender ? := 1 ? Z 2 ? 2 ? 1 , es decir, haciendo tender la constante de estructura fina a cero.
El tratamiento de los electrones mediante la ecuación de Dirac solo supone pequeñas correcciones a los niveles dados por la ecuación de Schrödinger. Tal vez el efecto más interesante es la desaparición de la degeneración de los niveles, por el efecto de la interacción espín-órbita consistente en que los electrones con valores diferentes del tercer número cuántico m (número cuántico magnético) tienen diferentes energía debido al efecto sobre ellos del momento magnético del núcleo atómico. De hecho los niveles energéticos vienen dados por:[sup]1[/sup]?

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E n = m e c 2 1 + ( Z ? n ? | m | + m 2 + ( Z ? ) 2 ) 2

Donde:
m e , es la masa del electrón. c ? , son la velocidad de la luz y la constante de estructura fina. Z , n , m , son el número de protones del núcleo, el número cuántico principal y el número cuántico magnético.
Si se prescinde de la energía asociada a la masa en reposo del electrón estos niveles pueden resultan cercanos a los predichos por la ecuación de Schrödinger, especialmente en el caso m = 0:

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E n ? m e c 2 ? m e 2 ( Z ? n ? | m | + m 2 + ( Z ? ) 2 ) 2

Notación covariante relativistaVolvemos a la ecuación de Dirac para el electrón libre. A veces es conveniente escribir la ecuación en una forma covariante relativista, en la que las derivadas en el tiempo y el espacio se tratan al mismo nivel. Para hacer esto, debe tenerse en cuenta que el operador del momento p funciona como una derivada espacial:

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p ? ( x , t ) = ? i ? ? ? ( x , t )

Multiplicando cada miembro de la ecuación de Dirac por ? 0 (recordando que ? 0 2 = I ) y sustituyendo en la mencionada definición de p, se obtiene

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[ i ? c ( ? 0 ? c ? t + ? j = 1 3 ? 0 ? j ? ? x j ) ? m c 2 ] ? = 0

Ahora, se definen cuatro matrices gamma :

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? 0 = ? 0 , ? j = ? 0 ? j

Estas matrices tienen la propiedad de que

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{ ? ? , ? ? } = 2 ? ? ? ? I , ? , ? = 0 , 1 , 2 , 3

donde ?, una vez más, es la métrica del espacio-tiempo plano. Estas relaciones definen un álgebra de Clifford denominada «álgebra de Dirac». La ecuación de Dirac puede ser ahora reformulada, usando el cuatrivector de posición-tiempo x = ( c t , x ) , como

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( i ? c ? ? = 0 3 ? ? ? ? x ? ? m c 2 ) ? = 0

O como
h 2 ? ? ? = 0 3 ? ? ? ? ? + i m c ? = 0 La forma usual de la ecuación en teoría cuántica de campos y física de partículas, empleando el convenio de suma de Einstein y un sistema de unidades en el que ? = 1 y c = 1 es

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( i ? ? ? m ) ? ? ( i ? ? ? ? ? m ) ? = 0

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